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纸上谈兵: 图 (graph)

时间:2019-11-20 23:17:24 出处:3分时时彩官网_3分时时彩平台哪个好_玩3分时时彩的网站

作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢!

图(graph)是并也有比较松散的数据行态。它有有些节点(vertice),在有些节点之间,由(edge)相连。节点的概念在树中也冒出过,大伙儿通常在节点中储存数据。边表示原本节点之间的指在关系。在树中,大伙儿用边来表示子节点和父节点的归属关系。树是并也有特殊的图,但限制性更强有些。

原本的并也有数据行态是很常见的。比如计算机网络,随后由有些节点(计算机随后路由器)以及节点之间的边(网线)构成的。城市的道路系统,也是由节点(路口)和边(道路)构成的图。地铁系统也可需要理解为图,地铁站可需要认为是节点。基于图有有些经典的算法,比如求图中原本节点的最短路径,求最小伸展树等。

图的经典研究是柯尼斯堡七桥现象图片(Seven Bridges of Königsberg)。柯尼斯堡是现今的加里宁格勒,城市含晒 两根河流过,河含晒 原本小岛。有七座桥桥连接河的两岸和原本小岛。送信员总想知道,有这麼原本土法子,能不重复的走过7个桥呢?

(并也有现象图片在有些奥数教材中称为"一笔画"现象图片)

欧拉时代的柯尼斯堡地图

柯尼斯堡的可需要看作由7个边和原本节点构成的原本图:

并也有现象图片最终被欧拉巧妙的防止。七桥现象图片也启发了一门新的数类学科——图论(graph theory)的诞生。欧拉的基本思路是,随后某个节点全部也有起点随后终点,这麼连接它的边的数目需要为偶数个(从原本桥进入,再从原本桥抛妻弃子)。对于柯尼斯堡的七桥,随后原本节点都为奇数个桥,而最多不都都里能有原本节点为起点和终点,好多好多 不随后一次走完。

图的定义

严格的说,图[$G = (V, E)$]是由节点的集合V和边的集合E构成的。原本图的所有节点构成原本集合[$V$]。原本边可需要表示为[$(v_1, v_2)$],其中[$v_1, v_2 \in V$],即原本节点。随后[$(v_1, v_2)$]有序,即[$(v_1, v_2)$]与[$(v_2, v_1)$]不同,这麼图是有向的(directed)。有序的边可需要理解为单行道,不都都里能沿原本方向行进。随后[$(v_1, v_2)$]无序,这麼图是无向的(undirected)。无序的边可需要理解成双向都可需要行进的道路。原本无序的边可需要看作连接相同节点的原本反向的有序边,好多好多 无向图可需要理解为有向图的并也有特殊请况。

(七桥现象图片中的图是无向的。城市中的公交线路可需随后无向的,比如指在单向环线)

图的原本路径(path)是图的一系列节点[$w_1, w_2, ..., w_n$],且对于[$1 \le i < n $],有[$ (w_i, w_{i+1}) \in E$]。也随后说,路径是一系列的边连接而成,路径的两端为原本节点。路径上面的总数称为路径的长度。乘坐地铁时,大伙儿会在取舍某个路径,来从A站到达B站。原本的路径随后有不止两根,大伙儿往往会根据路径的长度以及沿线的拥挤请况,来取舍两根最佳的路线。随后指在两根长度大于0的路径,该路径的两端为同一节点,这麼认为该图中指在环路(cycle)。很明显,上海的地铁系统中指在环路。

 

找到两根环路

随后从每个节点,到任意原本其它的节点,全部也有两根路径语句,这麼图是连通的(connected)。对于原本有向图来说,原本的连通称为强连通(strongly connected)。随后原本有向图不满足强连通的条件,但将它的所有边都改为双向的,此时的无向图是连通的,这麼认为该有向图是弱连通(weakly connected)。

随后将有火车站的城市认为是节点,铁路是连接城市的边,原本的图随后是不连通的。比如北京和费城,北京有铁路通往上海,费城有铁路通往纽约,但北京和费城之间这麼路径相连。

图的实现

并也有简单的实现图的土法子是使用二维数组。让数组a的每一行为原本节点,该行的不同元素表示该节点与有些节点的连接关系。随后[$(u, v) \in E$],这麼a[u][v]记为1,随后为0。比如下面的原本含晒 原本节点的图:

 

可需要简单表示为

a 1 2 3
1 0 1 1
2 0 0 0
3 0 1 0

并也有实现土法子所指在的空间为[$O(|V|^2)$],[$|V|$]为节点总数。所需内存随着节点增加而好快增多。随后边全部也有很密集,这麼好多好多 数组元素记为0,不都都里能稀疏的有些数组元素记为1,好多好多 并全部也有很经济。

更经济的实现土法子是使用,即记录每个节点所有的相邻节点。对于节点m,大伙儿建立原本链表。对于任意节点k,随后有[$(m, k) \in E$],就将该节点塞进去到对应节点m的链表中。邻接表是实现图的标准土法子。比如下面的图,

 

可需要用如下的数据行态实现:

 

左侧为原本数组,每个数组元素代表原本节点,且指向原本链表。该链表包含晒 该数组元素所有的相邻元素。

总体上看,邻接表可需要分为两主次。邻接表所指在的总空间为[$O(|V| + |E|)$]。数组主次储存节点信息,指在[$|V|$])的空间,即节点的总数。链表存储边的信息,指在[$|E|$]的空间,即边的总数。在有些多样化的现象图片中,定点和边还随后有有些的附加信息,大伙儿可需要将哪些附加信息储指在相应的节点随后边的位置。

下面为具体的C代码:

/* By Vamei */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define NUM_V 5

typedef struct node *position;

/* node */
struct node {
    int element;
    position next;
};

/* 
 * operations (stereotype)
 */
void insert_edge(position, int, int);
void print_graph(position graph, int nv);

/* for testing purpose */
void main()
{
    struct node graph[NUM_V];
    int i;

    // initialize the vertices
    for(i=1; i<NUM_V; i++) {
        (graph+i)->element = i;
        (graph+i)->next    = NULL;
    }

    // insert edges
    insert_edge(graph,1,2);
    insert_edge(graph,1,4);
    insert_edge(graph,3,2);
    insert_edge(graph,4,2);
    insert_edge(graph,4,3);

    print_graph(graph,NUM_V);
}

/* print the graph */
void print_graph(position graph, int nv) {
    int i;
    position p;
    for(i=1; i<nv; i++) {
        p = (graph + i)->next;
        printf("From %3d: ", i);
        while(p != NULL) {
            printf("%d->%d; ", i, p->element);
            p = p->next;
        }
        printf("\n");
    }
}

/*
 * insert an edge
 */
void insert_edge(position graph,int from, int to)
{
    position np;
    position nodeAddr;

    np = graph + from;

    nodeAddr = (position) malloc(sizeof(struct node));
    nodeAddr->element = to;
    nodeAddr->next    = np->next;
    np->next = nodeAddr;
}

运行结果:

From   1: 1->4; 1->2;

From   2:

From   3: 3->2;

From   4: 4->3; 4->2;

上面的实现主要基于链表,可参考纸上谈兵: 表 (list) 。

总结

图是并也有很简单的数据行态。图的组织土法子比较松散,自由度比较大,但也造成比较高的算法多样化度。我将在原本介绍有些图的经典算法。

欢迎继续阅读“纸上谈兵: 算法与数据行态”系列

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